Progettare un filtro a variabile di stato di 2° ordine


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Si tratta di una configurazione flessibile, in grado di fornire contemporaneamente diverse tipologie di risposta in frequenza. Caratteristiche principali per il circuito semplificato con guadagno unitario: Tipo di risposta in relazione al Q. Tipo di filtro passa-basso / passa-alto / passa-banda. Guadagno in banda passante per risposta passa-basso e passa-alto pari a 0 dB. Guadagno in banda passante per risposta passa-banda in relazione al Q. Fattore di qualità Q tipicamente inferiore a 100. Numero di amplificatori operazionali richiesti 3 e numero di componenti passivi richiesti 9. Questo lo schema elettrico, nel quale per semplicità viene omessa la rete di alimentazione e polarizzazione, e di seguito le relazioni matematiche di progetto:

Filtro a variabile di stato, versione semplificata

Schema del filtro a variabile di stato, versione semplificata

Relazione per calcolare la risposta in frequenza rispetto l'uscita passa-basso:

Relazione per calcolare la risposta in frequenza rispetto l'uscita passa-alto:

Relazione per calcolare la risposta in frequenza rispetto l'uscita passa-banda:

Nelle formule le resistenze sono tutte in ohm mentre i condensatori tutti in Farad. G0 è il guadagno in banda passante (espresso in dB). GS è il guadagno alla frequenza del segnale (espresso in dB). Fo è la frequenza di taglio, in Hz. Fs è la frequenza del segnale, sempre in Hz. Q infine è il fattore di qualità.

Queste invece le caratteristiche principali per il circuito completo, ancora con guadagno unitario: Tipo di risposta in relazione al Q. Tipo di filtro passa-basso / passa-alto / passa-banda / elimina banda. Guadagno in banda passante per risposta passa-basso, passa-alto ed elimina banda pari a 0 dB. Guadagno in banda passante per risposta passa-banda in relazione al Q. Fattore di qualità Q tipicamente inferiore a 100. Numero di amplificatori operazionali richiesti 4 e numero di componenti passivi richiesti 12. Ecco lo schema elettrico, nel quale viene omessa la rete di alimentazione e polarizzazione, e di seguito le relazioni di progetto:

Filtro a variabile di stato, versione completa

Schema del filtro a variabile di stato, versione completa

Relazione per calcolare la risposta in frequenza rispetto l'uscita passa-basso:

Relazione per calcolare la risposta in frequenza rispetto l'uscita passa-alto:

Relazione per calcolare la risposta in frequenza rispetto l'uscita passa-banda:

Nuovamente nelle formule le resistenze sono tutte in ohm mentre i condensatori tutti in Farad. Le resistenze R8, R9, R10 devono essere uguali tra loro con minima tolleranza, si consiglia come valore iniziale di progetto i 22 Kohm. G0 è il guadagno in banda passante (espresso in dB). GS è il guadagno alla frequenza del segnale (espresso in dB). Fo è la frequenza di taglio, in Hz. Fs è la frequenza del segnale, sempre in Hz. Q infine è il fattore di qualità.

FAQ :

Questo filtro ha uno schema complesso, perchè sceglierlo?

E' certo vero che questo circuito richiede a parità di risposta in frequenza più componenti di altre tipologie, vi sono però due vantaggi da non sottovalutare. Per prima cosa è possibile impostare il fattore di qualità Q fino a valori molto elevati, purchè si utilizzino condensatori con ridotta componente resistiva serie e idonei amplificatori operazionali. Si consulti a riguardo la pagina scelta dell'amplificatore operazionale. La possibilità di avere contemporaneamente più uscite per i diversi tipi fondamentali di filtro aggiunge in secondo luogo ampia flessibilità d'impiego. Tra queste la possibilità di suddividere lo spettro in due regioni simmetriche rispetto la frequenza di taglio senza necessità di sintonizzare più sezioni. Inoltre alcuni circuiti integrati propongono per intero la struttura di un filtro a variabile di stato agevolando in tal modo la realizzazione pratica.

Quali però gli svantaggi?

Il fattore di qualità Q è il medesimo per tutte le uscite. Un Q elevato va bene per il passa-banda ma risulterebbe del tutto inappropriato per le uscite passa-basso e passa-alto che presenterebbero un picco di guadagno nei pressi della frequenza di taglio. Del resto per una risposta di tipo Butterworth per le uscite passa-basso e passa-alto è richiesto un Q di 0.707 praticamente inutile in un passa-banda. Una scelta di compromesso è dunque necessaria in base all'applicazione.

Come connettere più stadi in serie?

Al pari di altri circuiti è possibile ottenere filtri con ordini superiore collegando semplicemente più stadi in serie. Ognuno di questi deve però avere nei parametri un valore preciso di Q, nel caso della risposta Butterworth questa sequenza è la medesima indicata per i filtri di 3°, 4°, 5° e 6° ordine che trovate in questa sezione a cui potete riferirvi.

Esistono altre varianti di filtri a variabile di stato?

Si, tra le principali vi è una versione che aggiunge un ulteriore amplificatore operazionale nella rete di retroazione del circuito così da poter avere un guadagno nella banda passante maggiore dell'unità. Le due versioni qui presentate sono comunque le più utilizzate.

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